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壓軸題“一題精講”(一):相似三角形的存在性

2022-02-23  妍小青   |  轉藏
   
處理相似三角形存在性問題時,一般可遵循以下思路:
第一步:確定對應關系
對于需要討論的兩個三角形,常??梢詮陌l現一組同角(等角)入手,繼而進一步挖掘條件或分類討論,確定對應關系.
第二步:解得未知量
代數方法通過對應關系列出比例式,用未知數和常數表示比例式中的每條邊,通過列方程求解.根據定理“兩邊對應成比例且夾角相等,則兩個三角形相似”,圍繞著已證明等角的夾邊列比例式比較簡單.
如下圖:在兩個三角形中,有∠A=∠D,則∠A的夾邊AB和AC,∠D的夾邊DE和DF,則可列出以下兩組比例式,即AB:AC=DE:DF或AB:AC=DF:DE.
幾何方法通過對應關系確定對應角,通過角之間的等量關系發現新的等腰或相似三角形,建立數量關系,從而得以求解。
(以下習題及解法部分選自黃喆《圖解中考數學壓軸題》)

(1)本題的第一問是證明AE和PE間的數量關系,由此可以聯想到通過發現相似三角形,從而找到線段間的數量關系??梢园l現圖中有兩組相似三角形,其中一組是斜A型”相似三角形:△ADP和△ABC,其三邊的比為1:2:√5;另一組是“共邊共角型相似三角形”△PDE和△APE,其中兩邊的相似比為1:2.

(2)本題的第二問是建立三△BEP的面積和線段AP間的函數關系.由于BP的長度可以用含x的代數式表示,因此過點E作BP的垂線EH,用含x的代數式表示EH的長度即可.
對于EH的求法,可以借助構造的DP-EH-A型圖進行求解,結合DE與AE的數量關系,可以求得DP和EH的比值,進而可以求出用用含x的代數式表示EH的長度.

(3)本題的第三問是相似三角形存在性的討論。
①尋找等角∵∠DPE=∠A,∠DPA=∠C=90°,∠ABC=∠BPE(等角的余角相等)
方法1 代數方法:根據夾邊列出比例關系 

列出比例關系:PB:PE=AB:BC或PB:PE=BC:AB,即用含x的代數式表示PE成為關鍵。

方法2 幾何方法:找出直角,利用另一組相等銳角,發現等腰三角形或相似三角形。


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