13.1 線積分(Line integral)

利用線積分可以計算變力沿空間路徑所做的功, 流體沿曲線和通過邊界流動的速率.

定義

設 f(x,y,z) 為實值函數, 定義域包含曲線 C: r(t)=g(t) i+ h(t)j + k(t)k, a<><=b. 將曲線分割成有限線段.="" 設一小段弧長為="" ?sk,="" 并取上取點="" (xk,yk,zk)="" ,="">

如果 f 連續, 且 g, h 和 k 均有一階連續到時候. 那么當劃分區間數量 n 不斷增加, 小段弧長 ?sk 趨近于零時, 稱為相應的極限為 f 在曲線上從 a 到 b 的線積分, 記為:

物理與幾何意義

線積分(第一類曲線積分)的物理意義就是求曲線質線的質量, f(x,y) 為線密度, ds可以被看作積分路徑上的一段很小的'弧長'.

其幾何意義上求柱面的面積:

用等分點將 C 分成 n 小段, 隨著劃分數量趨于無窮, 小矩形寬度 λ 趨于 0, 而全部小矩形面積之和就等于柱面的面積 :

線積分可以計算空間中光滑曲線的質量分布問題, 設質量分布函數 δ(x,y,z),

對光滑曲線的計算

若曲線C 上對連續函數 f(x,y,z)可用下面方式來計算線積分:第一步: 找出曲線 C 的參數表達式: r(t)=g(t) i+ h(t)j + k(t)k, a<><=b第二步:>

如果 f 取值為常數 1, 那么 f 沿 C 的線積分就是計算曲線 C 的長度.